ALGEBRA LINEAR : ESPAÇO VETORIAL

Espaços Vetoriais

• Definição:

   Um espaço vetorial real é um conjunto V,

não vazio, com duas operações: soma, V X V ®V, e

multiplicação por escalar, R X V®V, tais que, para quaisquer u, v, w ÎV e a, b Î R, as seguintes propriedades sejam satisfeitas:

• Propriedades:

 i) (u + v) + w = u + (v + w)

 ii) u + v = v + u

 iii) existe 0 Î V tal que u + 0 = u,   0 é o vetor nulo

 iv) Existe –u Î V tal que u + (-u) = 0

 v) a(u + v) = au + av, a escalar

 vi) (a + b)v = av + bv, a, b escalares

 vii) (ab)v = a(bv)

 viii) 1.u = u

Subespaços Vetoriais

• Definição:

   Dado um espaço vetorial V, um subconjunto W, não vazio, será um subespaço vetorial de V se:

 i) Para quaisquer u, v ÎW, tivermos u + v Î W

 ii) Para quaisquer a Î R, u ÎW, tivermos au ÎW

• Observações:

 1) Ao operarmos em W (soma e multiplicação por

escalar) não obteremos um vetor fora de W Isso é suficiente para afirmar que W é ele mesmo um espaço vetorial, pois assim as operações ficam bem definidas.

 Assim, não precisamos verificar novamente as propriedades (i) a

(viii) de espaço vetorial porque elas são válidas em V, que

contém W

 2) Qualquer subespaço W de V precisa necessariamente

conter o vetor nulo (por causa da condição (ii) da definição quando a = 0).

3) Todo espaço vetorial admite, pelo menos, dois subespaços (que são chamados de subespaços triviais):

• O conjunto formado apenas pelo vetor nulo

• O próprio espaço vetorial.

Combinação Linear

• Sejam V um espaço vetorial real, v1, v2, ..., vn

ÎV e a1, a2, ...,an números reais.

• Então o vetor

 v = a1v1 + a2v2 + .... anvn

• é um elemento de V ao qual chamamos de combinação linear de v1, v2, ..., vn

 Uma vez fixados vetores v1, v2, ..., vn em V, o

conjunto W de todos os vetores de V que são

combinação linear desse é um subespaço vetorial

• W é chamado de subespaço gerado por v1, v2, ..., vn

• W = [v1, v2, ..., vn].

Dependência e Independência Linear

• Definição:

Sejam V um espaço vetorial e v1, v2,

..., vn ÎV. Dizemos que o conjunto {v1,v2, ...,vn} é

linearmente independente (LI), ou que o vetores

v1, v2, ..., vn são LI se a equação:

 a1v1 + a2v2 + ... + anvn = 0

    Implica que a1 = a2 = .... = an = 0 {v1,v2, ...,vn} é LD se, e somente se, um destes vetores for combinação linear dos outros.

• Se algum ai ¹ 0, dizemos que {v1,v2, ...,vn} é

linearmente dependente (LD) ou que os vetores

v1,v2, ...,vn são LD.

Base de um Espaço Vetorial

• Definição:

Um conjunto {v1,v2, ...,vn} de vetores de V será uma base de V se:

 i) {v1,v2, ...,vn} é LI

 ii) [v1,v2, ...,vn] é V

Esse conjunto gera todos os vetores de V.

Base de um Espaço Vetorial

• Teorema:

Sejam v1,v2, ...,vn vetores não nulos

que geram um espaço vetorial V. Então dentre

esses vetores podemos extrair uma base de V.

 Isso independe de v1,v2, ...,vn serem LD ou LI

• Teorema:

Seja um espaço vetorial V gerado

por um conjunto finito de vetores v1,v2,...,vn.

• Então, qualquer conjunto com mais de n

vetores é necessariamente LD (e, portanto,

qualquer conjunto LI tem no máximo n vetores).

Base de um Espaço Vetorial

• Corolário:

Qualquer base de um espaço

vetorial tem sempre o mesmo número de

elementos. Este número é chamado

dimensão de V, e denotado por dim V.

• Teorema:

Qualquer conjunto de vetores LI de um

espaço vetorial V de dimensão finita pode ser

completado de modo a formar uma base de V

• Corolário:

Se dim V = n, qualquer conjunto de n

vetores LI formará uma base de V

• Teorema:

Se U e W são subespaços de um

espaço vetorial V que tem dimensão finita, então

dim U £ dim V e dim W £ dim V. Além disso:

dim(U + W) = dim U + dim W – dim(U Ç W) .